Muodon tilavuus edustaa sen kolmiulotteista tilaa. Voit myös ajatella esineen tilavuutta vesimääränä (tai ilmassa, hiekassa jne.), Joka mahtuu sen sisään täyttämään sen kokonaan. Yleisimmät tilavuusyksiköt ovat kuutiosenttimetrit (cm)3), kuutiometriä (m3), kuutiotuumaa (in3) ja kuutiometriä (ft3). Tämä artikkeli opettaa sinulle kuinka laskea kuuden erilaisen kolmiulotteisen muodon tilavuus, jotka yleisesti esiintyvät matemaattisissa testeissä, mukaan lukien kuutiot, pallot ja kartiot. Huomaat, että monet näistä kaavoista ovat samankaltaisia, mikä tekee niistä entistä helpommin muistettavia. Yritä muistaa ne koko artikkelin ajan!
askeleet
Menetelmä 1/6: Kuution tilavuuden laskeminen
Vaihe 1. Tunnista kuutio
Kuutio on kolmiulotteinen muoto, jossa on kuusi identtistä neliöpintaa. Toisin sanoen se on laatikko, jonka sivut ovat kaikki samat.
Kuusipuolinen muotti on hyvä esimerkki kuutiosta, samoin kuin sokerikuutiot ja lasten kirjainlohkot
Vaihe 2. Opi kaava kuution tilavuuden löytämiseksi
Koska kaikki sivut ovat yhtä suuret, kuution tilavuuskaava on melko helppo: V = s3, jossa V edustaa tilavuutta ja s on kuution yhden reunan pituus.
Löytää s3, yksinkertaisesti kerro kerroin itsestään kolme kertaa: s3 = s * s * s
Vaihe 3. Etsi kuution toisen sivun pituus
Tehtävästä riippuen joko kuution mukana tulee mitta toisella puolella tai se on mitattava itse. Muista, että koska se on kuutio, mitat kaikilla puolilla ovat samat, joten ei ole väliä kumpaa mittaat.
Jos et ole varma, onko muoto kuutio, mittaa kaikki sivut nähdäksesi, ovatko ne samat. Jos ei, sinun on käytettävä menetelmää suorakulmaisen prisman tilavuuden laskemiseksi
Vaihe 4. Korvaa sivumittaus kaavalla V = s3 ja laske tilavuus.
Jos esimerkiksi sivujen mitat ovat 5 cm, kirjoitat kaavan seuraavasti: V = (5 cm)3 = 5 cm * 5 cm * 5 cm = 125 cm3. Eli 125 cm3 on kuution tilavuus!
Vaihe 5. Kirjaa vastaus kuutiometreinä
Yllä olevassa esimerkissä kuution sivun pituus annettiin senttimetreinä, joten tilavuus on annettava kuutiosenttimetreinä. Jos kuution sivu olisi esimerkiksi 3 m, tilavuus olisi (3 m)3tai V = 27 m3.
Menetelmä 2/6: Suorakulmaisen prisman tilavuuden laskeminen
Vaihe 1. Tunnista suorakulmainen prisma
Suorakulmainen prisma on kolmiulotteinen muoto, jossa on kuusi sivua, jotka kaikki ovat suorakulmioita. Toisin sanoen se on yksinkertaisesti kolmiulotteinen suorakulmio tai tavallinen laatikko.
Kuutio on vain suorakulmainen prisma, jonka kaikkien suorakulmioiden sivut ovat samat
Vaihe 2. Opi kaava suorakulmaisen prisman tilavuuden löytämiseksi
Kaava on V = c * l * a, missä V = tilavuus, c = pituus, l = leveys ja a = korkeus.
Vaihe 3. Selvitä pituusarvo
Pituus on prisman pohjan suorakulmaisen pinnan pisin sivu. Arvo voidaan antaa kuvassa tai sinun on mitattava se löytääksesi sen.
- Esimerkki: Jos suorakulmaisen prisman pituus on 4 cm, niin c = 4 cm.
- Älä huolehdi liikaa siitä, kumpi puoli on pituus, mikä leveys jne. Niin kauan kuin mittaat kolme eri puolta, tulos on sama ehtojen järjestelystä riippumatta.
Vaihe 4. Etsi leveysarvo
Suorakulmaisen prisman leveys on prisman pohjan suorakulmaisen pinnan lyhin sivu. Jälleen joko arvo annetaan kuvassa tai sinun on mitattava se selvittääksesi.
- Esimerkki: jos prisman leveys on 3 senttimetriä, niin l = 4 cm.
- Jos mittaat suorakulmaista prismaa viivaimella tai mittanauhalla, muista tallentaa kaikki mittaukset samaan yksikköön. Älä mittaa toista puolta senttimetreinä ja toista tuumina; kaikkien mittausten on oltava samassa yksikössä!
Vaihe 5. Selvitä korkeusarvo
Korkeus on etäisyys pinnasta tai alemmasta suorakulmaisesta pinnasta prisman yläosaan. Etsi nämä tiedot kuvasta tai mittaa ne itse.
Esimerkki: jos suorakulmaisen prisman korkeus on 6 cm, niin a = 6 cm
Vaihe 6. Korvaa suorakulmaisen prisman mitat kaavaan ja laske tilavuus
Muista, että V = c * l * a. Kerro pituus, leveys ja korkeus. Voit kertoa ne missä tahansa järjestyksessä, tulos on sama.
Esimerkissämme c = 4, l = 3 ja a = 6. Näin ollen V = 4 * 3 * 6, joka on 72
Vaihe 7. Kirjoita vastaus muistiin kuutiometreinä
Kuten esimerkissämme, mitat annettiin senttimetreinä, tilavuus on ilmaistava 72 kuutiosenttimetreinä tai 72 cm: nä3.
Jos mitat olisivat: pituus = 2 m, leveys = 4 m ja korkeus = 8 m, tilavuus olisi 2 m * 4 m * 8 m, mikä vastaa 64 m3.
Menetelmä 3/6: Sylinterin tilavuuden laskeminen
Vaihe 1. Opi tunnistamaan sylinteri
Sylinteri koostuu kahdesta yhdensuuntaisesta pyöreästä pohjasta ja suljetusta, kaarevasta sivupinnasta, joka yhdistää ne.
Tölkki ja kasa ovat hyviä esimerkkejä sylintereistä
Vaihe 2. Muista sylinterin tilavuuden laskentakaava
Sylinterin tilavuuden laskemiseksi sinun on tiedettävä sen korkeus ja sen pyöreän pohjan säde (etäisyys ympyrän keskipisteestä sen reunaan). Kaava on V = πr2h missä V edustaa tilavuutta, r edustaa pyöreän pohjan sädettä, h edustaa korkeutta ja π on vakion pi arvo.
- Joissakin geometriaongelmissa vastaus on annettava muodossa π, mutta useimmiten sinun on korvattava se arvolla 3, 14. Kysy opettajalta, kumpaa tapaa hän haluaa.
- Kaava sylinterin tilavuuden löytämiseksi on hyvin samanlainen kuin suorakulmaisen prisman tilavuuden kaava: voit yksinkertaisesti kertoa muodon korkeuden sen pohjan pinta -alasta. Suorakulmaiselle prismalle tämä alue annettiin c * l, kun taas sylinterille se on πr2, joka edustaa säteen r ympyrän aluetta.
Vaihe 3. Etsi jalustan säde
Jos säde on annettu kuvassa, käytä sitä. Jos halkaisija on annettu säteen sijasta, jaa arvo 2: lla saadaksesi säteen mitta (d = 2r).
Vaihe 4. Mittaa kohteen säde, jos sitä ei ole annettu
Muista, että pyöreän kiinteän aineen tarkan mittauksen saaminen voi olla hieman hankalaa. Yksi vaihtoehto on mitata sylinterin yläpohja viivaimella tai teipillä. Mittaa sylinterin leveys sen leveimmästä osasta ja jaa mittaus kahdella saadaksesi säde.
- Toinen vaihtoehto on mitata sylinterin ympärysmitta mittanauhalla. Kun tämä on tehty, korvaa kaavassa oleva mitta: C (ympärysmitta) = 2πr. Jaa ympyrän arvo 2π: llä (6, 28) ja säde löytyy.
- Jos esimerkiksi ympärysmitta on 8 senttimetriä, säteesi on 1,27 cm.
- Jos tarvitaan todella tarkka mittaus, käytä molempia menetelmiä varmistaaksesi, että mittaukset ovat samat. Jos ei, mittaa uudelleen. Ympyrämenetelmä antaa yleensä tarkempia tuloksia.
Vaihe 5. Laske pyöreän pohjan pinta -ala
Korvaa perusarvon säde kaavaan A = πr2. Kerro vain säteen arvo itse ja kerro sitten tulos π: llä. Esimerkiksi:
- Jos ympyrän säde on 4 senttimetriä, pohja -alue on A = π42.
- 42 = 4 * 4 = 16. 16 * π (3, 14) = 50, 24 cm2
- Jos pohjan halkaisija on annettu säteen sijaan, muista, että d = 2r. Jaa halkaisija kahdella löytääksesi säteen.
Vaihe 6. Etsi korkeusarvo
Sylinterin korkeus on yksinkertaisesti kahden pyöreän pohjan välinen etäisyys tai kohteen pinnan ja sen yläosan välinen etäisyys. Jos mittausta ei ole esitetty kuvassa, mittaa se viivaimella tai mittanauhalla.
Vaihe 7. Löydä äänenvoimakkuus kertomalla pohja -alue korkeudella
Tai voit korvata sylinterin mitat suoraan kaavalla V = πr2H. Esimerkkimme, jossa sylinterin säde on 4 cm ja korkeus 10 cm, meillä on:
- V = π4210
- π42 = 50, 24
- 50, 24 * 10 = 502, 4
- V = 502, 4
Vaihe 8. Muista esittää vastaus kuutiometreinä
Esimerkissämme mitat annettiin senttimetreinä, joten tilavuus on annettava kuutiosenttimetreinä: 502, 4 cm3. Jos sylinteri mitattaisiin tuumina, tilavuus ilmaistaan kuutiotuumaa (in3).
Menetelmä 4/6: Säännöllisen pyramidin tilavuuden laskeminen
Vaihe 1. Ymmärrä mikä on tavallinen pyramidi
Pyramidi on kolmiulotteinen muoto, jonka pohja on monikulmio ja sivupinnat, jotka kohtaavat yhdessä kohdassa. Säännöllinen pyramidi on sellainen, jonka perusmonikulma on säännöllinen, mikä tarkoittaa, että kaikilla sivuilla ja kulmilla on sama mittaus.
- Normaalisti ajattelemme pyramidin olevan neliömäinen pohja ja kolmionmuotoiset sivut, jotka kohtaavat yhdessä pisteessä, mutta pyramidin pohjalla voi olla 5, 6 tai jopa 100 sivua!
- Pyramidia, jolla on pyöreä pohja, kutsutaan kartioksi, joka käsitellään seuraavassa menetelmässä.
Vaihe 2. Opi kaava tavallisen pyramidin tilavuuden laskemiseksi
Kaava on V = 1/3 bh, missä b on pyramidin pohjan pinta -ala ja h on korkeus.
Tilavuuskaava on sama suorille pyramideille (niille, joiden kärki on pohjan keskipisteen yläpuolella) ja vinoille pyramideille (joissa kärki ei ole keskellä)
Vaihe 3. Laske perusalue
Kaava riippuu siitä, kuinka monta sivua pyramidin pohjalla on. Ajatellaan pyramidia, jonka pohja on neliö ja jonka sivut ovat 6 senttimetriä pitkiä. Muista, että neliön pinta -alan kaava on A = s2, missä s on sivujen mitta. Joten meillä on, että pohja -ala on (6 cm)2 = 36 cm2.
- Kolmion alueen kaava on: A = 1/2 bh, missä b on kolmion pohja ja h on korkeus.
- Löydät minkä tahansa säännöllisen monikulmion alueen käyttämällä kaavaa A = 1/2pa, jossa A on pinta -ala, p on muodon kehä ja a on apoteema - etäisyys monikulmion keskeltä minkä tahansa sen sivun keskipiste. Tämä on hieman monimutkaisempi laskelma, joka ylittää tämän artikkelin. Jos haluat tehdä laskemisesta helpompaa, löydät tästä artikkelista hyviä vinkkejä.
Vaihe 4. Etsi korkeus
Useimmissa tapauksissa korkeus ilmoitetaan kuvassa. Oletetaan, että pyramidin korkeus on 10 cm.
Vaihe 5. Kerro pohja -alue korkeudella ja jaa tulos kolmella löytääksesi äänenvoimakkuuden
Muista, että tilavuuskaava on V = 1/3bh. Esimerkissämme pohjan pinta -ala on 36 ja korkeus 10, joten tilavuus on: 36 * 10 * 1/3 = 120.
Jos pyramidilla olisi viisikulmainen pohja, jonka pinta -ala on 26 ja korkeus 8, tilavuus olisi: 1/3 * 26 * 8 = 69, 33
Vaihe 6. Älä unohda ilmaista vastausta kuutiometreinä
Koska esimerkissämme mitat annettiin senttimetreinä, tilavuus on ilmaistava kuutiosenttimetreinä (120 cm)3). Jos mitat on annettu metreinä, tilavuus on ilmaistava kuutiometreinä (m3).
Menetelmä 5/6: Kartion tilavuuden laskeminen
Vaihe 1. Opi kartion ominaisuudet
Kartio on kolmiulotteinen kiinteä aine, jolla on pyöreä pohja ja yksi kärki (kartion kärki). Toinen tapa tarkastella sitä on pyramidi, jolla on pyöreä pohja.
Jos kartion kärki on suoraan pyöreän pohjan keskipisteen yläpuolella, sanomme, että kartio on "suora". Jos kärki ei ole suoraan keskipisteen yläpuolella, sitä kutsutaan vinoksi
Vaihe 2. Tiedä kaava kartion tilavuuden löytämiseksi
Kaava on V = 1/3πr2h, jossa r edustaa pyöreän pohjan sädettä, h edustaa korkeutta ja π on vakio pi, joka voidaan pyöristää arvoon 3, 14.
Termi πr2 viittaa kartion pyöreän pohjan alueeseen. Siksi kartion tilavuuden kaava on sama kuin edellisen menetelmän kattaman pyramidin tilavuus!
Vaihe 3. Laske pyöreän pohjan pinta -ala
Tätä varten sinun on tiedettävä pohjan säde, joka on kirjoitettava kuvaan. Jos halkaisija on annettu, jaa arvo yksinkertaisesti kahdella, koska halkaisija on kaksi kertaa säde (d = 2r). Korvaa sitten säde kaavalle A = πr2 alueen laskemiseksi.
- Pidä säde 3 senttimetriä. Korvaamalla tämä arvo kaavassa meillä on: A = π32.
- 32 = 3 * 3 = 9. Näin ollen A = 9π.
- K = 28,27 cm2.
Vaihe 4. Etsi korkeus
Kartion korkeus on pystysuora etäisyys pohjan ja kärjen välillä. Pidä kartion korkeutta 5 senttimetriä.
Vaihe 5. Kerro pohja -alue korkeudella
Esimerkissämme kartion pohjapinta -ala on 28,27 cm2 ja korkeus 5 cm. Näin ollen bh = 28, 27 * 5 = 141, 35.
Vaihe 6. Nyt kerro tulos 1/3 (tai jaa se 3: lla) kartion tilavuuden löytämiseksi
Edellisessä vaiheessa laskimme sylinterin tilavuuden, joka muodostuisi, jos kartion seinät ulottuisivat toiseen ympyrään. Tämän arvon jakaminen kolmella antaa meille kartion tilavuuden.
- Esimerkissämme 141, 35 * 1/3 = 47, 12.
- Toisin, 1/3π325 = 47, 12.
Vaihe 7. Esitä vastaus kuutiometreinä
Kartiomme mitattiin senttimetreinä, joten sen tilavuus on ilmaistava kuutiosenttimetreinä: 47, 12 cm3.
Menetelmä 6/6: Pallon tilavuuden laskeminen
Vaihe 1. Tunnista pallo
Pallo on täysin pyöreä kolmiulotteinen muoto, jossa mikä tahansa sen pinnan piste on saman etäisyyden päässä keskustasta. Toisin sanoen pallo on pallon muotoinen esine.
Vaihe 2. Kirjoita kaava pallon tilavuuden laskemiseksi
Kaava on V = 4/3πr3 (lue: neljä kolmasosaa pi r kuutioista), jossa r on pallon säde ja π on vakio pi (3, 14).
Vaihe 3. Etsi pallon säde
Jos säde on annettu kuvassa, käytä sitä. Jos halkaisija on annettu, jaa numero vain kahdella säteen löytämiseksi. Esimerkiksi säde on 3 cm.
Vaihe 4. Mittaa säde, jos sitä ei ole annettu
Jos sinun on mitattava pallomainen esine (kuten tennispallo) löytääksesi sen säteen, etsi ensin tarpeeksi pitkä nauha kiertämään sitä. Kääri sitten teippi kohteen ympärille sen leveimmästä kohdasta ja merkitse kohta, jossa teippi on päällekkäin. Jaa tämä arvo 2π: llä tai 6, 28: lla ja saat pallon säteen mittauksen.
- Jos esimerkiksi mittaat pallon ja huomaat sen ympärysmitan olevan 18 senttimetriä, jaa tämä luku 6,28: lla ja säde on 2,87 cm.
- Pallomaisen kohteen mittaaminen voi olla vaikeaa, joten yritä ottaa 3 mittausta ja käyttää löydettyjen arvojen keskiarvoa (laskemalla ne yhteen ja jakamalla ne kolmella) varmistaaksesi, että käytät mahdollisimman tarkkaa tulosta.
- Jos esimerkiksi löydetyt kolme mittausta ovat 18 cm, 17, 75 cm ja 18, 2 cm, lisäät nämä arvot (18 + 17, 5 + 18, 2 = 53, 95) ja jaat ne kolmella (53, 95/3 = 17, 98). Käytä laskelmissasi saatua keskiarvoa.
Vaihe 5. Kuutioi säteen arvo löytääksesi r3.
Kerro se itse kolme kertaa, eli r3 = r * r * r. Esimerkissämme säde on 3 cm, joten r3 = 3 * 3 * 3 = 27.
Vaihe 6. Kerro vastaus 4/3: lla
Voit joko käyttää laskinta tai laskea käsin. Esimerkissämme kertomalla 27 4/3: lla saamme 108/3, joka on yhtä kuin 36.
Vaihe 7. Löydä pallon tilavuus kertomalla vastaus π: llä
Π -arvon pyöristäminen kahteen desimaaliin riittää useimpiin matemaattisiin tehtäviin (ellei opettajasi pyydä sinua tekemään toisin), joten kerro edellisessä vaiheessa löytynyt arvo 3, 14 ja löydät pallon tilavuuden.
Esimerkissämme 36 * 3, 14 = 113, 09
Vaihe 8. Esitä vastaus kuutiometreinä
Koska esimerkissämme mitat annettiin senttimetreinä, vastauksen tulisi olla V = 113,09 kuutiosenttimetriä (113,09 cm)3).