6 tapaa ottaa huomioon toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt)

Sisällysluettelo:

6 tapaa ottaa huomioon toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt)
6 tapaa ottaa huomioon toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt)

Video: 6 tapaa ottaa huomioon toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt)

Video: 6 tapaa ottaa huomioon toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt)
Video: Automatic power factor controller connection diagram. Reactive power auto compensation Relay. 2024, Maaliskuu
Anonim

Polynomi sisältää muuttujan (x), joka on korotettu potenssiin, joka tunnetaan nimellä aste, ja useita termejä ja/tai vakioita. Faktorointi polynomi tarkoittaa lausekkeen jakamista pienempiin lausekkeisiin, jotka lisääntyvät. Tätä tietoa tutkitaan Algebra I: stä lähtien, ja sitä voi olla vaikea ymmärtää, jos sinulla ei ole perusta.

askeleet

Alkaa

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 1
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 1

Vaihe 1. Kokoa lauseke

Toisen asteen yhtälön vakiomuoto on:

kirves2 + bx + c = 0

Aloita järjestämällä yhtälön ehdot suurimmasta pienimpään tehoon, kuten yllä olevassa muodossa. Otetaan esimerkiksi;

6 + 6x2 + 13x = 0

Lauseke järjestetään uudelleen, jotta sitä voidaan käsitellä helpommin muuttamalla termien sijaintia:

6x2 + 13x + 6 = 0

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 2
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 2

Vaihe 2. Etsi tekijän muoto jollakin alla olevista tavoista

Polynomin jakaminen tuloksena saa kaksi pienempää lauseketta, jotka voidaan kertoa alkuperäisen polynomin tuottamiseksi:

6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

Tässä esimerkissä (2x +3) ja (3x + 2) ovat alkuperäisen lausekkeen, 6x, tekijöitä2 + 13x + 6.

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 3
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 3

Vaihe 3. Tarkista tulos

Kerro tunnistetut tekijät. Yhdistä sitten vastaavat termit. Aloita:

(2x + 3) (3x + 2)

Kokeillaan sitä FOIL -menetelmällä (englanniksi First Outside, Inside, Last - ensin ensin, sitten sisällä), jota kutsutaan myös kertomisen jakautumisominaisuudeksi:

6x2 + 4x + 9x + 6

Nyt on mahdollista lisätä 4x ja 9x, koska ne ovat samanlaisia termejä. Tiedät, että tekijät ovat oikein, koska alkuperäinen yhtälö saatiin:

6x2 + 13x + 6

Tapa 1/6: Koe ja virhe

Jos sinulla on hyvin yksinkertainen polynomi, saatat pystyä selvittämään tekijät itse katsomalla sitä. Esimerkiksi harjoituksen jälkeen monet matemaatikot pystyvät tunnistamaan, että lauseke 4x2 + 4x + 1: llä on tekijät (2x + 1) ja (2x + 1) sen jälkeen, kun hän on työskennellyt paljon tämän lausekkeen kanssa aiemmin. Mutta tietysti se ei ole niin helppoa monimutkaisempien polynomien kanssa. Tässä esimerkissä käytämme vähemmän yleistä lauseketta:

3x2 + 2x - 8

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 4
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 4

Vaihe 1. Luettele termien a ja c tekijät

Käyttämällä tavallista kirvesmuotoa2 + bx + c = 0, tunnista termit a ja c ja lue niiden tekijät. 3x2 + 2x - 8, tämä tarkoittaa:

a = 3 ja sillä on joukko tekijöitä: 1 * 3

c = -8 ja sillä on neljä tekijäjoukkoa: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 ja -1 * 8.

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 5
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 5

Vaihe 2. Kokoa kaksi tyhjää sulkua

Täytät ne kunkin lausekkeen vakioilla:

(x) (x)

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 6
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 6

Vaihe 3. Täytä x: n edessä olevat välilyönnit muutamalla mahdollisella arvon tekijällä

Käytetyssä esimerkissä termille a 3x2, on vain yksi mahdollisuus:

(3x) (1x)

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 7
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 7

Vaihe 4. Täytä kaksi välilyöntiä x: n jälkeen vakioiden tekijäparilla

Oletetaan, että valitset numerot 8 ja 1. Kirjoita ne muistiin:

(3x

Vaihe 8.)(

Vaihe 1

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 8
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 8

Vaihe 5. Päätä, mitkä merkit (lisäys tai vähennys) tulisi mennä x: n muuttujien ja numeroiden väliin

Alkuperäisen lausekkeen merkeistä riippuen on mahdollista selvittää, mitkä vakioiden merkkien pitäisi olla. Kutsutaan kahta vakioa kahdelle tekijälle h ja k:

jos x2 + bx + c, sitten (x + h) (x + k)

jos x2 - bx - c tai ax2 + bx - c, sitten (x - h) (x + k)

jos x2 - bx + c, sitten (x - h) (x - k)

Esimerkiksi 3x2 + 2x - 8, merkkien on oltava: (x - h) (x + k), mikä johtaa kahteen tekijään:

(3x + 8) ja (x - 1)

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 9
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 9

Vaihe 6. Testaa valintoja jakautuvan ominaisuuden avulla

Ensimmäinen nopea testi on tarkistaa, vastaavatko keskitermit oikeita arvoja. Jos et, olet ehkä valinnut väärät tekijät c: lle. Testaa vastaus:

(3x + 8) (x - 1)

Kun suoritat kertomuksen, saat:

3x2 - 3x + 8x - 8

Yksinkertaistamalla tätä lauseketta vastaavien termien (-3x) ja (8x) summalla saat:

3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8

Nyt tiedämme, että meidän on tunnistettava väärät tekijät:

3x2 + 5x - 8x3x2 + 2x - 8

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 10
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 10

Vaihe 7. Muuta tekijöitä tarvittaessa

Käytetyssä esimerkissä yritetään käyttää 2 ja 4 1: n ja 8: n sijasta:

(3x + 2) (x - 4)

Nyt c -termi on -8, mutta ulompi/sisempi tuote (3x * -4) ja (2 * x) ovat -12x ja 2x, joita ei yhdistetä oikean b -termin +2x luomiseksi.

-12x + 2x = 10x

10x2x

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 11
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 11

Vaihe 8. Käännä järjestys tarvittaessa

Yritetään siirtää 2 ja 4:

(3x + 4) (x - 2)

Nyt termi c (4 * 2 = 8) on edelleen oikea, mutta ulommat/sisäiset tuotteet ovat -6x ja 4x. Yhdistämällä ne:

-6x + 4x = 2x

2x ≠ -2x Olemme lähellä 2x, mutta signaali on väärä.

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 12
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 12

Vaihe 9. Tarkista merkit tarvittaessa

Pidä sama järjestys, mutta vaihda miinusmerkki:

(3x - 4) (x + 2)

Nyt termi c on edelleen oikea, mutta ulommat/sisäiset tuotteet ovat (6x) ja (-4x). Kuten:

6x - 4x = 2x

2x = 2x Nyt on mahdollista tunnistaa positiivinen termi 2x alkuperäisestä ongelmasta. Näiden on oltava oikeat tekijät.

Menetelmä 2/6: Hajoaminen

Tämä menetelmä tunnistaa kaikki mahdolliset tekijät termille a ja c ja käyttää niitä selvittääkseen, mitä tekijöitä pitäisi olla. Jos numerot ovat liian suuria tai muut menetelmät vaikuttavat monimutkaisemmilta, käytä tätä menetelmää. Käytetään esimerkkiä:

6x2 + 13x + 6

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 13
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 13

Vaihe 1. Kerro termit a ja c

Tässä esimerkissä molemmat ovat 6.

6 * 6 = 36

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 14
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 14

Vaihe 2. Etsi termin b arvo tekijällä ja testaamalla

Sinun on löydettävä kaksi numeroa, jotka ovat tekijöitä a * c: n tulosta ja jotka vastaavat myös termiä b (13) yhteen laskettuna.

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 15
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 15

Vaihe 3. Korvaa yhtälössä saadut kaksi lukua termin b summana

Käytetään k ja h edustamaan kahta saamaamme lukua, 4 ja 9:

kirves2 + kx + hx + c

6x2 + 4x + 9x + 6

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 16
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 16

Vaihe 4. Kerro polynomi ryhmittelyn avulla

Järjestä yhtälö niin, että voit ottaa huomioon kahden ensimmäisen ja kahden viimeisen termin suurimman yhteisen tekijän. Molempien tekijäryhmien on oltava samat. Laske yhteen suurimmat yhteiset tekijät ja aseta ne sulkuihin tekijäryhmän viereen. tuloksena on kaksi tekijää:

6x2 + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

Tapa 3/6: Kolminkertainen ottelu

Samoin kuin hajoaminen, "triple-start" -menetelmä tutkii termien a ja c tuotteiden mahdolliset tekijät ja käyttää niitä sitten b: n arvon löytämiseen. Harkitse esimerkiksi yhtälöä:

8x2 + 10x + 2

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 17
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 17

Vaihe 1. Kerro termit a ja c

Tämä auttaa sinua tunnistamaan b -termin mahdollisuudet sekä hajoamistavan. Tässä esimerkissä yhtä kuin 8 ja c on 2.

8 * 2 = 16

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 18
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 18

Vaihe 2. Etsi kaksi numeroa, joiden luku ja summa ovat yhtä suuret kuin termi b

Tämä vaihe on identtinen hajotusmenetelmän kanssa - sinun on testattava ja hylättävä vakioiden ehdokkaat. Termien a ja c tulo on 16 ja termi c on 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 19
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 19

Vaihe 3. Ota nämä kaksi numeroa ja testaa niiden korvaaminen "triple match" -kaavassa

Ota edellisen vaiheen kaksi numeroa - kutsutaan niitä h ja k - ja laita ne tähän lausekkeeseen:

((kirves + h) (kirves + k)) / a

Tässä tapauksessa saamme:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 20
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 20

Vaihe 4. Katso, mikä lukijan kahdesta termistä on yhtä jaollinen a: lla

Tässä esimerkissä testaamme, voidaanko (8x + 8) tai (8x + 2) jakaa kahdeksalla. (8x + 8) on jaollinen kahdeksalla, joten jaetaan tämä termi a: lla ja jätetään muut sellaisina kuin ne ovat.

(8x + 8) = 8 (x + 1)

Säästämä termi tässä tapauksessa on jaon loppuosa termillä a: (x + 1)

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 21
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 21

Vaihe 5. Ota yhden tai molempien termien suurin yhteinen tekijä, jos sellainen on

Tässä esimerkissä toisen termin suurin numero on 2, koska 8x + 2 = 2 (4x + 1). Yhdistä tämä vastaus edellisessä vaiheessa tunnistettuun termiin. Nämä ovat yhtälön tekijät.

2 (x + 1) (4x + 1)

Menetelmä 4/6: Kahden juuren ero

Jotkin polynomien kertoimet voidaan tunnistaa "juuriksi" tai kahden luvun tuloksi. Näiden juurien tunnistamisen avulla voit ottaa polynomit huomioon paljon nopeammin. Harkitse yhtälöä:

27x2 - 12 = 0

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 22
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 22

Vaihe 1. Ota huomioon suurin yhteinen tekijä, jos mahdollista

Tässä tapauksessa voimme nähdä, että 27 ja 12 ovat molemmat jaollisia 3: lla, joten erotetaan ne:

27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)

Kertoimen toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 23
Kertoimen toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 23

Vaihe 2. Selvitä, ovatko yhtälön kertoimet neliönumeroita

Jotta voit käyttää tätä menetelmää, sinun on voitava saada termien tarkka neliöjuuri. Huomaa, että miinusmerkit jätetään pois, koska nämä luvut ovat neliöitä, jotka voivat olla kahden positiivisen tai negatiivisen luvun tuloja.

9x2 = 3x * 3x ja 4 = 2 * 2

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 24
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 24

Vaihe 3. Kirjoita tekijät muistiin käyttämällä neliöjuuria

Ota arvot a ja c yllä olevasta vaiheesta (a = 9 ja c = 4) ja laske niiden neliöjuuret - √ a = 3 ja √ c = 2. Ne ovat lausekkeiden kertoimet:

27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Menetelmä 5/6: Neliökaava

Jos muut menetelmät epäonnistuvat ja yhtälö ei ole tasaisesti huomioon otettu, käytä toisen asteen kaavaa. Harkitse seuraavaa esimerkkiä:

x2 + 4x + 1 = 0

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 25
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 25

Vaihe 1. Korvaa vastaavat arvot neliökaavaan:

x = -b ± √ (b2 - 4c)

2

Saamme ilmaisun:

x = -4 ± √ (42 - 4•1•1) / 2

Kertoimen toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 26
Kertoimen toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 26

Vaihe 2. Laske x: n arvo

Sinun pitäisi saada kaksi arvoa x: lle. Kuten yllä on esitetty, saamme kaksi vastausta:

x = -2 + √ (3) tai x = -2 -√ (3)

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 27
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 27

Vaihe 3. Laske tekijät x -arvojen avulla

Korvaa x -arvot. Ne ovat tekijöitä. Jos tunnistamme kaksi vastausta h ja k, meidän on kirjoitettava tekijät seuraavasti:

(x - h) (x - k)

Tässä tapauksessa lopullinen vastaus on:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Tapa 6/6: Laskimen käyttö

Jos sitä on mahdollista käyttää, graafinen laskin helpottaa faktointiprosessia paljon, erityisesti testeissä. Seuraavat ohjeet koskevat graafista laskinta. Harkitse seuraavaa esimerkkiä:

y = x2 - x - 2

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 28
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 28

Vaihe 1. Syötä yhtälö laskimeen

Käytät yhtälöiden ratkaisijaa, joka tunnetaan myös nimellä [Y =] -näyttö.

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 29
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 29

Vaihe 2. Piirrä laskimen yhtälö

Kun olet kirjoittanut yhtälön, paina [GRAPH] -näppäintä - sinun pitäisi nähdä kaari, joka edustaa yhtälöä (ja se on kaari, koska käsittelemme polynomeja).

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 30
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 30

Vaihe 3. Katso missä kaari leikkaa x -akselin

Koska polynomiyhtälöt kirjoitetaan yleensä akselina2 + bx + c = 0, nämä ovat x: n kaksi arvoa, jotka tekevät lausekkeesta nolla:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

Jos et pysty tunnistamaan, missä kaaviossa on x-akseli, paina [2nd] ja sitten [TRACE]. Paina [2] tai valitse "nolla". Liu'uta kohdistin risteyksen vasemmalle puolelle ja paina [ENTER]. Liu'uta kohdistin risteyksen oikealle puolelle ja paina [ENTER]. Liu'uta kohdistin lähelle risteystä ja paina [ENTER]. Laskin löytää arvon x. Tee sama toisen risteyksen kohdalla

Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 31
Kerroin Toisen asteen polynomit (toisen asteen yhtälöt) Vaihe 31

Vaihe 4. Korvaa edellisessä vaiheessa saadut x -arvot kahdeksi tekijälausekkeeksi

Käytettäessä kahta arvoa x (h ja k) käytetään lauseketta:

(x - h) (x - k) = 0

Siksi näiden kahden tekijän on oltava:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Vinkkejä

  • Jos sinulla on grafiikkalaskin TI-84, on olemassa ohjelma nimeltä "SOLVER", joka ratkaisee toisen asteen yhtälön. Se ratkaisee myös muun asteen polynomeja.
  • Jos termiä ei ole, kerroin on 0. Voi olla hyödyllistä kirjoittaa yhtälö uudelleen, jos se on olemassa, esimerkiksi: x2 + 6 = x2 + 0x + 6.
  • Jos laskit polynomin toisen asteen kaavan avulla ja sait vastauksia radikaaleilla, tarkista ne muuntamalla x -arvot murto -osiksi.
  • Jos termillä ei ole kirjoitettua kerrointa, se on 1, eli x2 = 1x2.
  • Paljon harjoittelun jälkeen voit lopulta huomioida polynomit päässäsi. Siihen asti kirjoita ne paperille.

Suositeltava: