Polynomi sisältää muuttujan (x), joka on korotettu potenssiin, joka tunnetaan nimellä aste, ja useita termejä ja/tai vakioita. Faktorointi polynomi tarkoittaa lausekkeen jakamista pienempiin lausekkeisiin, jotka lisääntyvät. Tätä tietoa tutkitaan Algebra I: stä lähtien, ja sitä voi olla vaikea ymmärtää, jos sinulla ei ole perusta.
askeleet
Alkaa
Vaihe 1. Kokoa lauseke
Toisen asteen yhtälön vakiomuoto on:
kirves2 + bx + c = 0
Aloita järjestämällä yhtälön ehdot suurimmasta pienimpään tehoon, kuten yllä olevassa muodossa. Otetaan esimerkiksi;
6 + 6x2 + 13x = 0
Lauseke järjestetään uudelleen, jotta sitä voidaan käsitellä helpommin muuttamalla termien sijaintia:
6x2 + 13x + 6 = 0
Vaihe 2. Etsi tekijän muoto jollakin alla olevista tavoista
Polynomin jakaminen tuloksena saa kaksi pienempää lauseketta, jotka voidaan kertoa alkuperäisen polynomin tuottamiseksi:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Tässä esimerkissä (2x +3) ja (3x + 2) ovat alkuperäisen lausekkeen, 6x, tekijöitä2 + 13x + 6.
Vaihe 3. Tarkista tulos
Kerro tunnistetut tekijät. Yhdistä sitten vastaavat termit. Aloita:
(2x + 3) (3x + 2)
Kokeillaan sitä FOIL -menetelmällä (englanniksi First Outside, Inside, Last - ensin ensin, sitten sisällä), jota kutsutaan myös kertomisen jakautumisominaisuudeksi:
6x2 + 4x + 9x + 6
Nyt on mahdollista lisätä 4x ja 9x, koska ne ovat samanlaisia termejä. Tiedät, että tekijät ovat oikein, koska alkuperäinen yhtälö saatiin:
6x2 + 13x + 6
Tapa 1/6: Koe ja virhe
Jos sinulla on hyvin yksinkertainen polynomi, saatat pystyä selvittämään tekijät itse katsomalla sitä. Esimerkiksi harjoituksen jälkeen monet matemaatikot pystyvät tunnistamaan, että lauseke 4x2 + 4x + 1: llä on tekijät (2x + 1) ja (2x + 1) sen jälkeen, kun hän on työskennellyt paljon tämän lausekkeen kanssa aiemmin. Mutta tietysti se ei ole niin helppoa monimutkaisempien polynomien kanssa. Tässä esimerkissä käytämme vähemmän yleistä lauseketta:
3x2 + 2x - 8
Vaihe 1. Luettele termien a ja c tekijät
Käyttämällä tavallista kirvesmuotoa2 + bx + c = 0, tunnista termit a ja c ja lue niiden tekijät. 3x2 + 2x - 8, tämä tarkoittaa:
a = 3 ja sillä on joukko tekijöitä: 1 * 3
c = -8 ja sillä on neljä tekijäjoukkoa: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 ja -1 * 8.
Vaihe 2. Kokoa kaksi tyhjää sulkua
Täytät ne kunkin lausekkeen vakioilla:
(x) (x)
Vaihe 3. Täytä x: n edessä olevat välilyönnit muutamalla mahdollisella arvon tekijällä
Käytetyssä esimerkissä termille a 3x2, on vain yksi mahdollisuus:
(3x) (1x)
Vaihe 4. Täytä kaksi välilyöntiä x: n jälkeen vakioiden tekijäparilla
Oletetaan, että valitset numerot 8 ja 1. Kirjoita ne muistiin:
(3x
Vaihe 8.)(
Vaihe 1
Vaihe 5. Päätä, mitkä merkit (lisäys tai vähennys) tulisi mennä x: n muuttujien ja numeroiden väliin
Alkuperäisen lausekkeen merkeistä riippuen on mahdollista selvittää, mitkä vakioiden merkkien pitäisi olla. Kutsutaan kahta vakioa kahdelle tekijälle h ja k:
jos x2 + bx + c, sitten (x + h) (x + k)
jos x2 - bx - c tai ax2 + bx - c, sitten (x - h) (x + k)
jos x2 - bx + c, sitten (x - h) (x - k)
Esimerkiksi 3x2 + 2x - 8, merkkien on oltava: (x - h) (x + k), mikä johtaa kahteen tekijään:
(3x + 8) ja (x - 1)
Vaihe 6. Testaa valintoja jakautuvan ominaisuuden avulla
Ensimmäinen nopea testi on tarkistaa, vastaavatko keskitermit oikeita arvoja. Jos et, olet ehkä valinnut väärät tekijät c: lle. Testaa vastaus:
(3x + 8) (x - 1)
Kun suoritat kertomuksen, saat:
3x2 - 3x + 8x - 8
Yksinkertaistamalla tätä lauseketta vastaavien termien (-3x) ja (8x) summalla saat:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Nyt tiedämme, että meidän on tunnistettava väärät tekijät:
3x2 + 5x - 8x3x2 + 2x - 8
Vaihe 7. Muuta tekijöitä tarvittaessa
Käytetyssä esimerkissä yritetään käyttää 2 ja 4 1: n ja 8: n sijasta:
(3x + 2) (x - 4)
Nyt c -termi on -8, mutta ulompi/sisempi tuote (3x * -4) ja (2 * x) ovat -12x ja 2x, joita ei yhdistetä oikean b -termin +2x luomiseksi.
-12x + 2x = 10x
10x2x
Vaihe 8. Käännä järjestys tarvittaessa
Yritetään siirtää 2 ja 4:
(3x + 4) (x - 2)
Nyt termi c (4 * 2 = 8) on edelleen oikea, mutta ulommat/sisäiset tuotteet ovat -6x ja 4x. Yhdistämällä ne:
-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Olemme lähellä 2x, mutta signaali on väärä.
Vaihe 9. Tarkista merkit tarvittaessa
Pidä sama järjestys, mutta vaihda miinusmerkki:
(3x - 4) (x + 2)
Nyt termi c on edelleen oikea, mutta ulommat/sisäiset tuotteet ovat (6x) ja (-4x). Kuten:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Nyt on mahdollista tunnistaa positiivinen termi 2x alkuperäisestä ongelmasta. Näiden on oltava oikeat tekijät.
Menetelmä 2/6: Hajoaminen
Tämä menetelmä tunnistaa kaikki mahdolliset tekijät termille a ja c ja käyttää niitä selvittääkseen, mitä tekijöitä pitäisi olla. Jos numerot ovat liian suuria tai muut menetelmät vaikuttavat monimutkaisemmilta, käytä tätä menetelmää. Käytetään esimerkkiä:
6x2 + 13x + 6
Vaihe 1. Kerro termit a ja c
Tässä esimerkissä molemmat ovat 6.
6 * 6 = 36
Vaihe 2. Etsi termin b arvo tekijällä ja testaamalla
Sinun on löydettävä kaksi numeroa, jotka ovat tekijöitä a * c: n tulosta ja jotka vastaavat myös termiä b (13) yhteen laskettuna.
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Vaihe 3. Korvaa yhtälössä saadut kaksi lukua termin b summana
Käytetään k ja h edustamaan kahta saamaamme lukua, 4 ja 9:
kirves2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Vaihe 4. Kerro polynomi ryhmittelyn avulla
Järjestä yhtälö niin, että voit ottaa huomioon kahden ensimmäisen ja kahden viimeisen termin suurimman yhteisen tekijän. Molempien tekijäryhmien on oltava samat. Laske yhteen suurimmat yhteiset tekijät ja aseta ne sulkuihin tekijäryhmän viereen. tuloksena on kaksi tekijää:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Tapa 3/6: Kolminkertainen ottelu
Samoin kuin hajoaminen, "triple-start" -menetelmä tutkii termien a ja c tuotteiden mahdolliset tekijät ja käyttää niitä sitten b: n arvon löytämiseen. Harkitse esimerkiksi yhtälöä:
8x2 + 10x + 2
Vaihe 1. Kerro termit a ja c
Tämä auttaa sinua tunnistamaan b -termin mahdollisuudet sekä hajoamistavan. Tässä esimerkissä yhtä kuin 8 ja c on 2.
8 * 2 = 16
Vaihe 2. Etsi kaksi numeroa, joiden luku ja summa ovat yhtä suuret kuin termi b
Tämä vaihe on identtinen hajotusmenetelmän kanssa - sinun on testattava ja hylättävä vakioiden ehdokkaat. Termien a ja c tulo on 16 ja termi c on 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Vaihe 3. Ota nämä kaksi numeroa ja testaa niiden korvaaminen "triple match" -kaavassa
Ota edellisen vaiheen kaksi numeroa - kutsutaan niitä h ja k - ja laita ne tähän lausekkeeseen:
((kirves + h) (kirves + k)) / a
Tässä tapauksessa saamme:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Vaihe 4. Katso, mikä lukijan kahdesta termistä on yhtä jaollinen a: lla
Tässä esimerkissä testaamme, voidaanko (8x + 8) tai (8x + 2) jakaa kahdeksalla. (8x + 8) on jaollinen kahdeksalla, joten jaetaan tämä termi a: lla ja jätetään muut sellaisina kuin ne ovat.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Säästämä termi tässä tapauksessa on jaon loppuosa termillä a: (x + 1)
Vaihe 5. Ota yhden tai molempien termien suurin yhteinen tekijä, jos sellainen on
Tässä esimerkissä toisen termin suurin numero on 2, koska 8x + 2 = 2 (4x + 1). Yhdistä tämä vastaus edellisessä vaiheessa tunnistettuun termiin. Nämä ovat yhtälön tekijät.
2 (x + 1) (4x + 1)
Menetelmä 4/6: Kahden juuren ero
Jotkin polynomien kertoimet voidaan tunnistaa "juuriksi" tai kahden luvun tuloksi. Näiden juurien tunnistamisen avulla voit ottaa polynomit huomioon paljon nopeammin. Harkitse yhtälöä:
27x2 - 12 = 0
Vaihe 1. Ota huomioon suurin yhteinen tekijä, jos mahdollista
Tässä tapauksessa voimme nähdä, että 27 ja 12 ovat molemmat jaollisia 3: lla, joten erotetaan ne:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Vaihe 2. Selvitä, ovatko yhtälön kertoimet neliönumeroita
Jotta voit käyttää tätä menetelmää, sinun on voitava saada termien tarkka neliöjuuri. Huomaa, että miinusmerkit jätetään pois, koska nämä luvut ovat neliöitä, jotka voivat olla kahden positiivisen tai negatiivisen luvun tuloja.
9x2 = 3x * 3x ja 4 = 2 * 2
Vaihe 3. Kirjoita tekijät muistiin käyttämällä neliöjuuria
Ota arvot a ja c yllä olevasta vaiheesta (a = 9 ja c = 4) ja laske niiden neliöjuuret - √ a = 3 ja √ c = 2. Ne ovat lausekkeiden kertoimet:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Menetelmä 5/6: Neliökaava
Jos muut menetelmät epäonnistuvat ja yhtälö ei ole tasaisesti huomioon otettu, käytä toisen asteen kaavaa. Harkitse seuraavaa esimerkkiä:
x2 + 4x + 1 = 0
Vaihe 1. Korvaa vastaavat arvot neliökaavaan:
x = -b ± √ (b2 - 4c)
2
Saamme ilmaisun:
x = -4 ± √ (42 - 4•1•1) / 2
Vaihe 2. Laske x: n arvo
Sinun pitäisi saada kaksi arvoa x: lle. Kuten yllä on esitetty, saamme kaksi vastausta:
x = -2 + √ (3) tai x = -2 -√ (3)
Vaihe 3. Laske tekijät x -arvojen avulla
Korvaa x -arvot. Ne ovat tekijöitä. Jos tunnistamme kaksi vastausta h ja k, meidän on kirjoitettava tekijät seuraavasti:
(x - h) (x - k)
Tässä tapauksessa lopullinen vastaus on:
(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))
Tapa 6/6: Laskimen käyttö
Jos sitä on mahdollista käyttää, graafinen laskin helpottaa faktointiprosessia paljon, erityisesti testeissä. Seuraavat ohjeet koskevat graafista laskinta. Harkitse seuraavaa esimerkkiä:
y = x2 - x - 2
Vaihe 1. Syötä yhtälö laskimeen
Käytät yhtälöiden ratkaisijaa, joka tunnetaan myös nimellä [Y =] -näyttö.
Vaihe 2. Piirrä laskimen yhtälö
Kun olet kirjoittanut yhtälön, paina [GRAPH] -näppäintä - sinun pitäisi nähdä kaari, joka edustaa yhtälöä (ja se on kaari, koska käsittelemme polynomeja).
Vaihe 3. Katso missä kaari leikkaa x -akselin
Koska polynomiyhtälöt kirjoitetaan yleensä akselina2 + bx + c = 0, nämä ovat x: n kaksi arvoa, jotka tekevät lausekkeesta nolla:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Jos et pysty tunnistamaan, missä kaaviossa on x-akseli, paina [2nd] ja sitten [TRACE]. Paina [2] tai valitse "nolla". Liu'uta kohdistin risteyksen vasemmalle puolelle ja paina [ENTER]. Liu'uta kohdistin risteyksen oikealle puolelle ja paina [ENTER]. Liu'uta kohdistin lähelle risteystä ja paina [ENTER]. Laskin löytää arvon x. Tee sama toisen risteyksen kohdalla
Vaihe 4. Korvaa edellisessä vaiheessa saadut x -arvot kahdeksi tekijälausekkeeksi
Käytettäessä kahta arvoa x (h ja k) käytetään lauseketta:
(x - h) (x - k) = 0
Siksi näiden kahden tekijän on oltava:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Vinkkejä
- Jos sinulla on grafiikkalaskin TI-84, on olemassa ohjelma nimeltä "SOLVER", joka ratkaisee toisen asteen yhtälön. Se ratkaisee myös muun asteen polynomeja.
- Jos termiä ei ole, kerroin on 0. Voi olla hyödyllistä kirjoittaa yhtälö uudelleen, jos se on olemassa, esimerkiksi: x2 + 6 = x2 + 0x + 6.
- Jos laskit polynomin toisen asteen kaavan avulla ja sait vastauksia radikaaleilla, tarkista ne muuntamalla x -arvot murto -osiksi.
- Jos termillä ei ole kirjoitettua kerrointa, se on 1, eli x2 = 1x2.
- Paljon harjoittelun jälkeen voit lopulta huomioida polynomit päässäsi. Siihen asti kirjoita ne paperille.