3 tapaa yksinkertaistaa algebrallisia lausekkeita

Sisällysluettelo:

3 tapaa yksinkertaistaa algebrallisia lausekkeita
3 tapaa yksinkertaistaa algebrallisia lausekkeita

Video: 3 tapaa yksinkertaistaa algebrallisia lausekkeita

Video: 3 tapaa yksinkertaistaa algebrallisia lausekkeita
Video: Kolmion alan trigonometrinen laskukaava 2024, Maaliskuu
Anonim

Algebrallisten lausekkeiden yksinkertaistamisen oppiminen on olennainen perusalan algebran hallinnan edellytys, ja se on erittäin arvokas työkalu kaikille matemaatikoille. Yksinkertaistamisen avulla matemaatikko voi tehdä monimutkaisia, pitkiä tai sopimattomia lausekkeita yksinkertaisempiin tai kätevämpiin muotoihin samalla kun ne pysyvät samanarvoisina. Yksinkertaistamisen perustaito on melko helppo oppia - jopa niille, jotka inhoavat matematiikkaa. Seuraamalla muutamia yksinkertaisia vaiheita on mahdollista yksinkertaistaa monia yleisimpiä algebrallisten lausekkeiden tyyppejä ilman minkäänlaista matemaattista tietoa. Aloita lukemalla vaihe 1!

askeleet

Tärkeiden käsitteiden ymmärtäminen

Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 1
Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 1

Vaihe 1. Määrittele "liittyvät termit" muuttujien ja valtuuksien mukaan

Algebrassa "affiiniluvuilla" on sama muuttujien kokoonpano, ja ne nostetaan samoille voimille. Toisin sanoen, jotta kaksi termiä ovat "affinisia", niillä on oltava samat muuttujat tai ei lainkaan, ja jokainen niistä on nostettava samaan tehoon tai ei ollenkaan. Muuttujien järjestyksellä termin sisällä ei ole väliä.

Esimerkiksi 3x2 ja 4x2 ne ovat toisiinsa liittyviä termejä, koska jokainen niistä sisältää muuttujan x, joka on korotettu toiseen potenssiin. Kuitenkin x ja x2 ne eivät ole toisiinsa liittyviä termejä, koska jokaisella on x korotettu eri tehoon. Samoin, -3yx ja 5xz eivät ole toisiinsa liittyviä termejä, koska niillä molemmilla on erilaiset muuttujat.

Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 2
Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 2

Vaihe 2. Kerro numeroiden kirjoittamiseen kahden tekijän tulona

Faktorointi on käsite, joka edustaa tiettyä lukua kahden kertoimen tulona. Numeroilla voi olla useampi kuin yksi tekijäjoukko - esimerkiksi luku 12 voidaan muodostaa 1 × 12, 2 × 6 ja 3 × 4, joten voit ilmoittaa, että 1, 2, 3, 4, 6 ja 12 ovat kaikki tekijät 12. Toinen ajattelutapa on, että luvun tekijät ovat niitä lukuja, joilla se on yhtä jaollinen.

  • Jos esimerkiksi haluamme kertoa 20, voimme kirjoittaa sen muodossa 4×5.
  • Huomaa, että myös muuttuvat termit voidaan ottaa huomioon. Esimerkiksi -20x voidaan kirjoittaa muodossa 4 (-5x).
  • Alkulukuja ei voida ottaa huomioon, koska ne ovat jaettavissa vain itsestään ja 1.
Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 3
Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 3

Vaihe 3. Muista toimintojen järjestys käyttämällä lyhennettä PEMDAS

Joskus lausekkeen yksinkertaistaminen ei tarkoita muuta kuin toimintojen suorittamista kyseisellä lausekkeella, kunnes se ei ole enää mahdollista. Tällaisissa tapauksissa on tärkeää muistaa toimintojen järjestys, jotta ei tehdä aritmeettisia virheitä. Lyhenne PEMDAS voi olla suureksi avuksi, kun sinun on muistettava toimintojen järjestys - kirjaimet vastaavat suoritettavia toimintoja seuraavassa järjestyksessä:

  • FORvaljaat.
  • JAeksponentit.
  • Mkertolasku.
  • Dnäky.
  • THEpainos.
  • svähennyslasku.

Tapa 1/3: Aiheeseen liittyvien ehtojen yhdistäminen

Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 4
Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 4

Vaihe 1. Kirjoita yhtälösi

Yksinkertaisimmat algebralliset yhtälöt, jotka sisältävät vain muutamia muuttuvia termejä, joilla on kokonaislukukertoimet ja joissa ei ole murto -osia, radikaaleja jne., Voidaan usein ratkaista muutamassa vaiheessa. Kuten useimmissa matemaattisissa tehtävissä, ensimmäinen vaihe yhtälön yksinkertaistamisessa on kirjoittaa se muistiin!

Esimerkkiongelmana seuraavissa vaiheissa tarkastellaan lauseketta 1+2x-3+4x.

Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 5
Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 5

Vaihe 2. Tunnista asiaan liittyvät termit

Etsi seuraavaksi yhtälöstäsi liittyviä termejä. Muista, että samankaltaisilla termeillä on samat muuttujat ja samat eksponentit.

Tunnistetaan esimerkiksi liittyvät termit yhtälöstä 1+2x-3+4x. Sekä 2x että 4x on sama muuttuja korotettu samaan eksponenttiin (tässä tapauksessa x: itä ei koroteta millekään teholle). Lisäksi 1 ja -3 ovat toisiinsa liittyviä termejä, koska kummallakaan ei ole muuttujia. Joten yhtälössämme 2x ja 4x ja 1 ja -3 ovat toisiinsa liittyviä termejä.

Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 6
Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 6

Vaihe 3. Yhdistä asiaan liittyvät termit

Nyt kun olet tunnistanut liittyvät termit, voit yhdistää ne yksinkertaistaaksesi yhtälöä. Lisää termejä yhteen (tai vähennä ne negatiivisista termeistä) vähentääksesi jokaista termisarjaa, jonka muuttujat ja eksponentit vastaavat yksittäistä termiä.

  • Lisätään esimerkkiimme liittyviä termejä:

    • 2x+4x = 6x.
    • 1+(-3) = - 2.
Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 7
Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 7

Vaihe 4. Luo yksinkertaistettu lauseke yksinkertaistetuista termeistäsi

Kun olet yhdistänyt aiheeseen liittyvät termit, luo lauseke uusien ja yksinkertaistettujen termiesi joukosta. Sinun pitäisi saada yksinkertaisempi lauseke, jossa on termi kullekin alkuperäisen lausekkeen muuttujien ja eksponenttien joukolle. Tämä uusi ilmaisu on sama kuin ensimmäinen.

Esimerkissämme yksinkertaistetut termit ovat 6x ja -2, joten uusi lauseke on 6x-2. Tämä yksinkertaistettu lauseke on sama kuin alkuperäinen (1+2x-3+4x), mutta pienempi ja helpompi ratkaista. Se on myös helpompi laskea, mikä, kuten näemme seuraavaksi, on toinen tärkeä taito yksinkertaistamisessa.

Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 8
Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 8

Vaihe 5. Noudata toimintojen järjestystä yhdistettäessä asiaan liittyviä termejä

Erittäin yksinkertaisissa ilmaisuissa, kuten edellisessä esimerkissä, termien tunnistaminen on yksinkertaista. Monimutkaisemmissa ilmaisuissa, kuten suluissa, murto -osissa ja radikaaleissa esiintyvissä termeissä, yhdistettävät termit eivät kuitenkaan välttämättä ole ilmeisiä. Noudata näissä tapauksissa toimintojen järjestystä ja suorita toimintoja lausekkeen ehdoilla tarpeen mukaan, kunnes jäljelle jää vain summa ja vähennys.

  • Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä 5 (3x-1)+x (2x/2)+8-3x. Olisi väärin tunnistaa välittömästi 3x ja 2x toisiinsa liittyviksi termeiksi ja yhdistää ne suluista huolimatta, koska meidän on ensin suoritettava muut toiminnot. Aluksi suoritamme lausekkeelle aritmeettisia operaatioita toimintojen järjestyksen mukaisesti saadaksemme käytettäviä termejä. Katso alempaa:

    • 5 (3x-1)+x (2x/2)+8-3x.
    • 15x-5+x (x)+8-3x.
    • 15x-5+x2.

      Nyt kun jäljellä on vain yhteenlasku- ja vähennystoimet, voimme yhdistää niihin liittyvät termit

    • x2+12x+3.

Menetelmä 2/3: Factoring

Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 9
Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 9

Vaihe 1. Tunnista lausekkeen suurin yhteinen jakaja

Faktorointi on tapa yksinkertaistaa lausekkeita poistamalla yleiset tekijät lausekkeen termeistä. Aloita etsimällä suurin yhteinen jakaja, jolla kaikki lausekkeen termit jakavat - toisin sanoen suurin luku, jolla kaikki lausekkeen termit ovat yhtä jaettavissa.

  • Käytetään 9x -yhtälöä2+27x-3. Huomaa, että kaikki yhtälön termit ovat jaollisia 3: lla. Koska termit eivät jakaudu yhtä suurella määrällä, voimme määrittää

    Vaihe 3. on suurin yhteinen jakaja ilmaisussa.

Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 10
Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 10

Vaihe 2. Jaa ilmaisutermit suurimmalla yhteisellä jakajalla

Jaa seuraavaksi jokainen termi yhtälössä suurimmalla löydetyllä yhteisellä jakajalla. Tuloksena olevilla termeillä on pienemmät kertoimet kuin alkuperäisessä lausekkeessa.

  • Lasketaan yhtälö suurimman yhteisen jakajansa avulla 3. Tätä varten jaamme jokaisen termin 3: lla.

    • 9x2/3 = 3x2
    • 27x/3 = 9x
    • -3/3 = -1

      Uusi ilmaisumme on siis 3x2+9x-1.

Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 11
Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 11

Vaihe 3. Piirrä lausekkeesi suurimman yhteisen jakajan ja muiden termien tuloksi

Uusi lauseke ei ole sama kuin edellinen, eli sitä ei voida sanoa yksinkertaistetuksi. Jotta se olisi sama kuin edellinen, on huomattava, että se jaettiin suurimmalla yhteisellä jakajalla. Laita lauseke sulkeisiin ja aseta alkuperäisen yhtälön suurin yhteinen jakaja suluissa olevan lausekkeen kerroimeksi.

Esimerkkilausekkeemme tapauksessa 3x2+9x-1, suljemme lausekkeen suluissa ja kerromme sen alkuperäisen yhtälön suurimmalla yhteisellä jakajalla 3 (3x2+9x-1). Tämä yhtälö on sama kuin alkuperäinen, 9x2+27x-3.

Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 12
Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 12

Vaihe 4. Yksinkertaista murto -osia käyttämällä factorointia

Saatat nyt ihmetellä, miksi tekijästä on hyötyä, jos suurin lauseke on poistettu sen jälkeen, kun suurin yhteinen jakaja on poistettu. Itse asiassa faktorointi sallii matemaatikon suorittaa useita temppuja yksinkertaistettaessa lauseketta. Yksi yksinkertaisimmista on hyödyntää sitä tosiasiaa, että kertomalla jakeen osoittaja ja nimittäjä samalla luvulla saadaan vastaava murto. Katso alempaa:

  • Sanotaan alkuperäinen esimerkkilauseke, 9x2+27x-3, ole suuremman murto-osan osoittaja, jonka nimittäjä on 3. Tämä murto näyttää tältä: (9x2+27x-3)/3. Voimme käyttää tekijöitä yksinkertaistamaan tätä murto -osaa:

    Korvaamme alkuperäisen lausekkeen tekijämuodon ilmaisimella ilmaisulla: [3 (3x2+9x-1)]/3.

  • Huomaa, että nyt sekä osoittaja että nimittäjä jakavat kerroimen 3. jakamalla molemmat 3: lla, saamme: (3x3+9x-1)/1.
  • Koska jokainen murtoluku, jonka nimittäjä on "1", on yhtä suuri kuin osoittimen ehdot, voimme sanoa, että alkuperäinen murto voidaan yksinkertaistaa 3x2+9x-1.

Tapa 3/3: Yksinkertaistamistaitojen lisääminen

Yksinkertaista algebrallisia lausekkeita Vaihe 13
Yksinkertaista algebrallisia lausekkeita Vaihe 13

Vaihe 1. Yksinkertaista murtoja jakamalla yhteiset tekijät

Kuten edellä todettiin, jos lausekkeen osoittaja ja nimittäjä jakavat tekijät, nämä tekijät voidaan poistaa kokonaan murto -osasta. Joskus tämä edellyttää lukijan, nimittäjän tai molempien huomioon ottamista (kuten edellä on kuvattu), kun taas toisinaan jaetut tekijät ovat helposti havaittavissa. Huomaa, että yksinkertaistetun lausekkeen saamiseksi on myös mahdollista jakaa osoittajaehdot nimittäjän lausekkeella yksitellen.

  • Otetaan esimerkki, joka ei välttämättä edellytä välitöntä faktorointia. Murtoluvun tapauksessa (5x2+10x+20)/10, voimme ehkä jakaa kunkin osoittimen termin nimittäjän numerolla 10 yksinkertaistaa sitä, vaikka kerroin "5" 5x2 ei ole suurempi kuin 10 eikä siksi voi olla 10 jakajana.

    Näin teemme tuloksen [(5x2)/10]+x+2. Jos haluamme, voimme kirjoittaa ensimmäisen termin uudelleen (1/2) x: llä2 saadaksesi tuloksen (1/2) x2+x+2.

Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 14
Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 14

Vaihe 2. Yksinkertaista radikaaleja neliökertoimien avulla

Neliöjuurisymbolin alla olevia lausekkeita kutsutaan radikaaleiksi lausekkeiksi. Niitä voidaan yksinkertaistaa tunnistamalla neliötekijät (tekijät, jotka ovat tietyn luvun neliöitä) ja suorittamalla neliöjuuritoiminto erikseen niiden poistamiseksi neliöjuurimerkistä.

  • Otetaan seuraava esimerkki: √ (9). Jos ajattelemme numeroa 90 kahden sen tekijän, 9 ja 10, tulona, voimme ottaa neliöjuuren 9 saadaksemme kokonaisluvun 3 ja poistamaan sen radikaalista. Toisin sanoen:

    • √(90).
    • √(9×10).
    • [√(9)×√(10)].
    • 3×√(10).
    • 3√10.
Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 15
Yksinkertaista algebralliset lausekkeet Vaihe 15

Vaihe 3. Lisää eksponentit kertomalla kaksi eksponentiaalista termiä; vähennä ne jakamalla nämä termit

Jotkut algebralliset lausekkeet edellyttävät eksponentiaalisten termien kertomista tai jakamista. Sen sijaan, että laskettaisiin jokainen eksponentiaalinen termi ja kerrottaisiin tai jaettaisiin käsin, yksinkertaisesti lisää eksponentit kertoessa ja vähennä ne jakaessasi, säästääksesi aikaa. Tätä konseptia voidaan käyttää myös yksinkertaistamaan muuttuvia lausekkeita.

  • Tarkastellaan esimerkiksi lauseketta 6x3× 8x4+(x17/x15). Joka kerta, kun on tarpeen kertoa tai jakaa eksponenteilla, vähennämme tai lisäämme, jotta löydämme yksinkertaistetun termin nopeasti. Katso alempaa:

    • 6x3× 8x4+(x17/x15)
    • (6 × 8) x3+4+(x17-15)
    • 48x7+x2
  • Syy tähän on seuraava:

    Eksponentiaalisten termien kertominen on pohjimmiltaan kuin ei-eksponentiaalisten termien pitkien merkkijonojen kertominen. Esimerkiksi koska x3 = x × x × x ja x5 = x x x x x x x x x, x3× x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) tai x8

  • Samoin eksponentiaalisten termien jakaminen on kuin ei-eksponentiaalisten termien pitkien merkkijonojen jakamista. x5/x3 = (x x x x x x x x x)/(x x x x x x). Koska jokainen lukijan termi voidaan peruuttaa nimittäjän yhdistävällä termillä, jäämme lukijaan kaksi x ja nimittäjässä ei yhtään, jolloin saadaan vastaus x2.

Vinkkejä

  • Muista aina, että sinun on ajateltava, että nämä numerot sisältävät plus- tai miinusmerkkejä. Monien ihmisten on vaikea ajatella:”Mitä merkkiä minun pitäisi laittaa tänne?”
  • Pyydä apua tarvittaessa!
  • Algebrallisten lausekkeiden yksinkertaistaminen ei ole helppoa, mutta kun ymmärrät sen, käytät tätä taitoa koko elämäsi ajan.

Ilmoitukset

  • Etsi aina aiheeseen liittyviä termejä, äläkä eksytä eksponentit.
  • Älä lisää vahingossa mitään lukua, eksponenttia tai toimintoa, joka ei kuulu lausekkeeseen.

Suositeltava: