3 tapaa ottaa huomioon kolminaisuudet

Sisällysluettelo:

3 tapaa ottaa huomioon kolminaisuudet
3 tapaa ottaa huomioon kolminaisuudet

Video: 3 tapaa ottaa huomioon kolminaisuudet

Video: 3 tapaa ottaa huomioon kolminaisuudet
Video: A Show of Scrutiny | Critical Role: THE MIGHTY NEIN | Episode 2 2024, Maaliskuu
Anonim

Kolminaisuus on algebrallinen lauseke, joka koostuu kolmesta termistä. Luultavasti opit ottamaan huomioon toisen asteen trinomit, jotka ovat kirveen muotoisia trinomeja2 + bx + c. On olemassa useita temppuja, joita voidaan soveltaa erityyppisiin toisen asteen kolminaisiin, mutta parannat ja nopeutat harjoittelua. Korkeamman asteen polynomeja, joiden termit ovat3 tai x4, ei aina voida ratkaista samoilla menetelmillä, mutta voit usein turvautua yksinkertaiseen faktorointiin tai termien korvaamiseen muuttaaksesi ne ongelmiksi, jotka voidaan ratkaista millä tahansa asteen kaavalla.

askeleet

Menetelmä 1/3: Factoring x2 + bx + c

Trinomials Factor Vaihe 1
Trinomials Factor Vaihe 1

Vaihe 1. Opi jakeluominaisuus (tunnetaan myös nimellä FOIL englanniksi) , kertoakseen lausekkeet, kuten (x+2) (x+4).

Ennen kuin aloitat factoringin, on hyvä tietää, miten tämä toimii:

  • moninkertaistaa ensimmäinen ehdot: (x+2)(x+4) = x2 + _
  • Kerro ehdot ulkopuolella: (x+2) (x+

    Vaihe 4.) = x2+ 4x + _

  • Kerro ehdot sisällä: (x+

    Vaihe 2.)(x+4) = x2+4x+ 2x + _

  • moninkertaistaa kestää ehdot: (x+

    Vaihe 2.) (x

    Vaihe 4.) = x2+4x+2x

    Vaihe 8.

  • Yksinkertaista: x2+4x+2x+8 = x2+6x+8
Trinomials Factor Vaihe 2
Trinomials Factor Vaihe 2

Vaihe 2. Ymmärrä faktorointi

Kun kerrot kaksi binomia yhteen käyttämällä jakautuvaa, saat trinomiaalin (kolmitermisen lausekkeen), jonka muoto on x2+ b x+ c, jossa "a", "b" ja "c" ovat yleisiä numeroita. Jos aloitat saman muodon yhtälöllä, voit jakaa sen takaisin kahteen binomiin.

  • Jos yhtälöä ei kirjoiteta tässä järjestyksessä, siirrä termit oikeaan paikkaan. Kirjoita esimerkiksi uudelleen 3x - 10 + x2 Kuten x2 + 3x - 10.
  • Suurin eksponentti on 2 (x2, tätä ilmaisua kutsutaan "toisen asteen".
Trinomials -tekijä Vaihe 3
Trinomials -tekijä Vaihe 3

Vaihe 3. Varaa tilaa esitetyn menetelmän vastaukselle

Kirjoita toistaiseksi vain (_ _) (_ _) vastaukselle varatussa tilassa. Täytämme nämä kentät pian.

Älä laita + tai - -merkkejä tyhjien termien väliin, koska emme tiedä, mitä niistä käytetään

Trinomials Factor Vaihe 4
Trinomials Factor Vaihe 4

Vaihe 4. Täytä ensimmäiset ehdot

Yksinkertaisissa tehtävissä, joissa trinomiaalisi ensimmäinen termi on vain x2, ensimmäisen sijainnin ehdot ovat aina x ja x. Nämä ovat x: n tekijöitä2, koska x kertaa x = x2.

  • Esimerkki, x2 + 3x - 10, alkaa x: llä2, sitten voimme kirjoittaa:
  • (x _) (x _)
  • Tarkastelemme tarkempia ongelmia seuraavassa osassa, mukaan lukien trinomiaalit, jotka alkavat termillä, kuten 6x2tai -x2. Seuraa toistaiseksi esimerkkitehtävää.
Trinomials Factor Vaihe 5
Trinomials Factor Vaihe 5

Vaihe 5. Arvioi viimeiset termit faktoroinnin avulla

Jos palaat taaksepäin ja luet aluksi käytetyn menetelmän uudelleen, huomaat, että viimeisten ehtojen kertominen antaa polynomin viimeisen termin (sen, jossa ei ole x). Joten tekijäksi meidän on löydettävä kaksi numeroa, jotka kerrotaan muodostamaan viimeisen termin.

  • Esimerkissämme x2 + 3x - 10, viimeinen termi on -10.
  • Mitkä ovat tekijät -10? Mitkä kaksi numeroa kerrottuna muodostavat -10?
  • On olemassa muutamia mahdollisuuksia: -1 kertaa 10, 1 kerta -10, -2 kertaa 5 tai 2 kertaa -5. Kirjoita nämä parit jonnekin, jotta et unohda.
  • Älä muuta vastausta vielä. Hän näyttää edelleen tältä: (x _) (x _).
Trinomials -tekijä Vaihe 6
Trinomials -tekijä Vaihe 6

Vaihe 6. Testaa, mitkä mahdollisuudet toimivat ulko- ja sisäkertoimen kanssa

Olemme vähentäneet viimeiset ehdot muutamiin mahdollisuuksiin. Testaa jokainen kertomalla ulkoiset ja sisäiset termit ja vertaamalla sitten tulosta kolminaisuuteemme. Esimerkiksi:

  • Alkuperäisen ongelmamme "x" termi on "3x", joten haluamme saada testin.
  • Testi -1 ja 10: (x -1) (x+10). Ulkopuolella + sisäinen arvo = 10x - x = 9x. Ei.
  • Testi 1 ja -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Tämä ei ole oikein. Itse asiassa testien -1 ja 10 jälkeen tiedät, että vastaukset 1 ja -10 ovat juuri päinvastaisia kuin yllä oleva tulos: -9x 9x: n sijaan.
  • Testi -2 ja 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Tämä vastaa alkuperäistä polynomia, joten tämä on oikea vastaus: (x-2) (x+5).
  • Tällaisissa yksinkertaisissa tapauksissa, kun x: n edessä ei ole vakioita2, voit käyttää pikakuvaketta: lisää vain kaksi tekijää ja kirjoita "x" (-2+5 → 3x) jälkeen. Tämä ei toimi monimutkaisempien ongelmien kanssa, joten on hyvä muistaa koko edellä kuvattu polku.

Menetelmä 2/3: Tarkempien trinomien faktorointi

Trinomials Factor Vaihe 7
Trinomials Factor Vaihe 7

Vaihe 1. Käytä yksinkertaista factoringia helpottaaksesi monimutkaisempia ongelmia

Sanotaan, että sinun on otettava huomioon 3x2 + 9x - 30. Etsi luku, joka vaikuttaa kaikkiin kolmeen termiin (niiden "suurin yhteinen jakaja" tai MDC). Tässä tapauksessa se on 3:

  • 3x2 = (3) (x2)
  • 9x = (3) (3x)
  • -30 = (3)(-10)
  • Siis 3x2 + 9x - 30 = (3) (x2+3x-10). Voimme laskea uuden trinomiaalin käyttämällä tämän artikkelin alussa olevia ohjeita. Vastaus on (3) (x-2) (x+5).
Trinomials Factor Vaihe 8
Trinomials Factor Vaihe 8

Vaihe 2. Etsi tarkempia tekijöitä

Joskus tekijä voi sisältää muuttujia, tai sinun on ehkä otettava huomioon muutama kerta, kunnes löydät yksinkertaisimman mahdollisen lausekkeen. Tässä muutamia esimerkkejä:

  • 2x2y + 14xy + 24y = (2v)(x2 + 7x + 12)
  • x4 + 11x3 - 26x2 = (x2)(x2 + 11x - 26)
  • -x2 + 6x - 9 = (-1)(x2 - 6x + 9)
  • Älä unohda laskea uutta trinomia vielä kerran käyttämällä vaiheita alusta alkaen. Tarkista vastauksesi ja etsi samanlaisia esimerkkiongelmia tämän artikkelin lopusta.
Trinomials Factor Vaihe 9
Trinomials Factor Vaihe 9

Vaihe 3. Ratkaise ongelmat, joissa on numero x: n edessä2.

Joitakin toisen asteen trinomeja ei voida yksinkertaistaa, ennen kuin saavut helpoimpaan ongelmatyyppiin. Opi ratkaisemaan 3x kaltaisia ongelmia2 + 10x + 8 ja harjoittele itseäsi tämän artikkelin lopussa olevilla esimerkkitehtävillä:

  • Kokoa vastaus: (_ _)(_ _)
  • Ensimmäisissä termeissä on "x", ja kerrottuna tuloksena on 3x2. Tässä on vain yksi vaihtoehto: (3x _) (x _).
  • Listaa tekijät 8. Valintamme ovat 1 kertaa 8 tai 2 kertaa 4.
  • Testaa niitä käyttämällä termejä ulkona ja sisällä. Huomaa, että tekijöiden järjestyksellä on väliä, koska ulkopuolinen termi kerrotaan "3x", ei "x". Kokeile kaikkia mahdollisuuksia, kunnes saat tuloksen ulkopuolelta + 10x sisällä (alkuperäisen ongelman mukaan):
  • (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x Ei.
  • (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x Ei.
  • (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x Ei.
  • (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x Joo, tämä on oikea tekijä.
Trinomials Factor Vaihe 10
Trinomials Factor Vaihe 10

Vaihe 4. Käytä korkealaatuisten trinomien korvaamista

Matematiikan oppikirjasi saattaa yllättää sinut korkealla x eksponenttiyhtälöllä4, vaikka olisinkin jo käyttänyt yksinkertaista tekijäkehitystä ongelman helpottamiseksi. Kokeile korvata se uudella muuttujalla, joka muuttaa yhtälön ratkaisuehdotukseksi. Esimerkiksi:

  • x5+13x3+36x
  • = (x) (x4+13x2+36)
  • Keksitään uusi muuttuja. Sanomme, että y = x2 ja teemme korvaukset:
  • (x) (y2+13v+36)
  • = (x) (y+9) (y+4). Palaa nyt alkuperäisen muuttujan käyttöön:
  • = (x) (x2+9) (x2+4)
  • = (x) (x ± 3) (x ± 2)

Tapa 3/3: Factoring erityistapauksissa

Trinomials -tekijä Vaihe 11
Trinomials -tekijä Vaihe 11

Vaihe 1. Etsi alkulukuja

Tarkista, onko trinomiaalin ensimmäisen tai kolmannen termin vakio alkuluku. Alkuluku voidaan jakaa tasan vain itsestään ja yhdellä, joten binomitekijöitä on vain yksi mahdollinen pari. Br>

  • Esimerkiksi x: ssä2 + 6x + 5, "5" on alkuluku, joten binomialin pitäisi näyttää tältä: (_ 5) (_ 1).
  • 3x ongelmassa2+10x+8, 3 on alkuluku, joten binomialin pitäisi näyttää tältä: (3x _) (x _).
  • 3x ongelmaan2+4x+1, sekä "3" että "1" ovat alkulukuja, joten ainoa mahdollinen ratkaisu on (3x+1) (x+1). (Sinun tulee silti suorittaa tämä kertolasku laskujesi tarkistamiseksi, koska joitain lausekkeita ei voida ottaa huomioon - esimerkiksi 3x2 + 100x + 1 ei sisällä tekijöitä).
Trinomials -tekijä Vaihe 12
Trinomials -tekijä Vaihe 12

Vaihe 2. Tarkista, että trinomi on täydellinen neliö

Täydellinen neliönmuotoinen kolminaisuus voidaan jakaa kahteen identtiseen binomiin, ja kerroin kirjoitetaan yleensä muodossa (x+1)2, (x+1) (x+1) sijaan. Seuraavassa on joitain yleisiä, jotka yleensä ilmaantuvat vaikeuksissa:

  • x2+2x+1 = (x+1)2ja x2-2x+1 = (x-1)2
  • x2+4x+4 = (x+2)2ja x2-4x+4 = (x-2)2
  • x2+6x+9 = (x+3)2ja x2-6x+9 = (x-3)2
  • Täydellisen neliön muotoinen trinomi, joka on x: n muotoinen2 + bx + c, termit "a" ja "c" ovat aina positiivisia täydellisiä neliöitä (kuten 1, 4, 9, 16 tai 25) ja termi b (positiivinen tai negatiivinen) on aina yhtä suuri kuin 2 (√a * √c).
Trinomials -tekijä Vaihe 13
Trinomials -tekijä Vaihe 13

Vaihe 3. Tarkista, onko ratkaisua olemassa

Kaikkia trinomeja ei voida ottaa huomioon. Jos olet jumissa toisen asteen trinomiaalissa (kirves2+bx+c), käytä toisen asteen kaavaa löytääksesi tuloksen. Jos ainoat vastaukset ovat negatiivisen luvun neliöjuuri, todellista ratkaisua ei ole, joten tekijöitä ei ole.

Jos kyseessä on ei-kvadratiivinen trinomi, käytä Eisenstein-kriteeriä, joka on kuvattu vihjeitä käsittelevässä osassa

Vastauksia ja esimerkkejä ongelmista

  1. Vastaukset kaikkein yksityiskohtaisimpiin factoring -ongelmiin.

    Nämä ovat ongelmia "yksityiskohtaisempia" kolminaisuuksia käsittelevässä osassa. Olemme jo yksinkertaistaneet niitä, mikä tekee niistä helpompaa. Yritä nyt ratkaista ne käyttämällä vaiheita alusta alkaen ja tarkista sitten laskelmasi täältä:

    • (2v) (x2 + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
    • (x2) (x2 + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
    • (-1) (x2 -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)2
  2. Yritä ratkaista monimutkaisempia factoring -ongelmia.

    Näillä ongelmilla on yhteinen tekijä kullakin termillä, joka on otettava huomioon ensin. Korosta välilyöntimerkkien jälkeen oleva väli nähdäksesi vastauksen ja tarkista laskelmasi täältä:

    • 3x3+3x2-6x = (3x) (x+2) (x-1) ← korosta tämä tila nähdäksesi vastauksesi
    • -5x3y2+30x2y2-25v2x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
  3. Harjoittele vaikeiden ongelmien kanssa.

    Näitä ongelmia ei voida ottaa huomioon helpommissa yhtälöissä, joten sinun on luotava vastaus muodossa (_x + _) (_ x + _) testaamalla:

    • 2x2+3x-5 = (2x+5) (x-1) ← korosta nähdäksesi vastauksen
    • 9x2+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)2 (Vinkki: sinun on ehkä kokeiltava useampaa kuin yhtä tekijää 9x).

    Vinkkejä

    • Jos et tiedä kuinka laskea toisen asteen trinomi (ax2+bx+c), voi käyttää toisen asteen kaavaa löytääkseen arvon x.
    • Vaikka sinun ei tarvitse tietää, miten tämä tehdään, voit käyttää Eisensteinin kriteeriä nopeasti määrittämään, onko polynomi redusoitumaton eikä sitä voida ottaa huomioon. Tämä kriteeri koskee mitä tahansa polynomia, mutta se toimii erityisen hyvin trinomien kanssa. Jos on alkuluku "p", joka jakaa kaksi viimeistä termiä tasaisesti ja täyttää seuraavat ehdot, niin polynomi on redusoitumaton:

      • Vakiotermi (ei muuttujaa) on p: n monikerta, mutta ei p.2.
      • Tärkein termi (esim. "A" kirveessä)2+bx+c) ei ole p: n monikerta.
      • Esimerkiksi 14x2 + 45x + 51 on pelkistämätön, koska on olemassa alkuluku (3), joka jakaa 45 ja 51 tasaisesti, mutta ei 14, ja 51 ei voida jakaa tasan 3: lla2.

    Ilmoitukset

    Vaikka tämä pätee toisen asteen yhtälöihin, tosiasialliset kolmiot eivät välttämättä ole kahden binomin tulosta. Esimerkiksi: x4 + 105x + 46 = (x2 + 5x + 2) (x2 - 5x + 23).

Suositeltava: